도플러 효과는 파동의 성질을 갖는 다양한 물리량들이 상대적인 운동에 의해 특성이 변하는 물리적 현상으로 다양한 곳에 적용되고 있습니다.
이 번 글에서는 도플러 효과를 집중 분석하고 공식 유도를 포함하여 역사, 원리, 사례와 적용에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.
도플러 효과의 발견
도플러 효과는 상당히 오랜 전인 1842년에 오스트리아의 물리학자 크리스티안 도플러(Christian Doppler)에 의해 처음 발표되었습니다.
도플러는 이동하는 물체가 내보내는 파동의 주파수가 물체와 관찰자 사이의 상대적 속도에 따라 변화한다고 주장하였습니다.
그러나 도플러의 주장은 이론이었고 첫 번째 실험적 검증은 음파를 사용한 1845년 네덜란드의 과학자 보이스 발로트 의해 성공적으로 입증되었습니다. 그 후에도 많은 학자들의 다양한 실험과 관찰을 통해 세계적으로 인정받게 되었습니다.
과학적 원리
도플러 효과는 파동의 소스와 관측자의 상대 속도에 따라 파동의 주파수나 파장이 달라지는 현상으로 음파, 빛, 전자기파 등 파동의 성질을 갖는 다양한 물리량에 적용됩니다.
하지만 전자기파의 경우에는 특수 상대성 이론 때문에 다른 방식으로 설명해야 합니다.
음파로 간단히 설명하면 음원이 관찰자에게 접근할 때 파동의 압축으로 인해 주파수가 증가하면서 더 높은음으로 들립니다. 반대로 음원이 관찰자로부터 멀어질 때는 파동이 확장되어 주파수가 감소하고 더 낮은음으로 들립니다.
아래의 설명 이미지를 참조하시기 바랍니다. 빠르게 달리는 스포츠카나 비행기가 우리에게 가까워질 때와 멀어질 때의 소음이 달라지는 것이 바로 도플러 효과입니다.
공식 유도
도플러 효과 공식을 유도하는 과정을 아주 자세히 그러나 쉽게 설명하도록 하겠습니다.
파동의 소스가 이동할 때
파동의 소스가 정지했을 때의 원래 파장 λ는 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
λ = v / f = v · T
여기서 v는 파동의 속도, f는 파동의 진동수, T는 파동의 주기입니다.
파동의 소스가 속도 vs로 움직일 때 파면이 압축되거나 확장되면서 파장의 길이가 λ′로 변하게 됩니다. 위의 식을 활용하면
λ′ = λ − vs · T = v / f − vs / f = (v − vs) / f
을 얻을 수 있는데 소스의 이동 방향이 파동 방향과 같으면 v - vs가 되어 관측가 느끼는 파장은 본래 파장보다 짧아집니다. 그러나 반대 방향일 경우에는 v + vs가 되어 본래 파장보다 길어집니다.
관측자가 실제로 느끼는 진동수 f′ 는 위에서 구한 λ′를 대입하면 쉽게 구할 수 있습니다.
f′ = v / λ' = f · v / (v − vs)
소스의 이동 방향이 파동 방향(소스와 관측자가 가까워짐)이면 관측자가 느끼는 실제 진동수는 원래 진동수 보다 높아지고 반대 방향(소스와 관측자와 멀어짐)의 경우에는 진동수가 낮아집니다.
관측자가 이동할 때
관측자가 속도 vo로 이동할 때 파면이 관측자에 도달하는 속도는 v'으로 변하게 됩니다.
v' = v - vo
결국 상대 속도가 되어 관측자의 속도가 파동의 속도와 같은 방향(소스와 관측자와 멀어짐)이면 파면 도달 속도가 작아지고 반대 방향(소스와 관측자가 가까워짐)이면 v + vo가 되어 도달 속도는 커집니다.
이때 관측자가 느끼는 진동수 f′는
f′ = v' / λ
인데
관측가 정지했을 때의 원래 파장이
λ = v / f
이므로
모든 수식을 대입하면 관측자가 느끼는 진동수 f'는
f' = f · (v - vo) / v
가 되어 소스가 움직일 때의 도플러 효과 공식과 유사한 형태가 됩니다. 관측자의 이동 방향이 파동 방향과 같으면 관측자가 느끼는 실제 진동수는 원래 진동수 보다 낮아지고 반대 방향의 경우에는 진동수가 높아집니다.
파동의 소스와 관측자가 모두 이동할 때
파동의 소스와 관측자가 모두 vs와 vo의 속도로 각각 이동할 때의 관측자가 느끼는 진동수 f′ 는
f′ = (관측자에 도달하는 파면 속도) / (변화된 파장) = v' / λ′
가 되는데
관측자가 속도 vo로 이동할 때 파면이 관측자에 도달하는 속도 v'가
v' = v - vo
이고
파동의 소스가 속도 vs로 움직일 때의 변화된 파장 λ′이
λ′ = λ − vs · T = v / f − vs / f = (v − vs) / f
이므로 이들을 대입하면 관측자가 느끼는 진동수 f′ 는
f' = f · (v - vo) / (v - vs)
가 되어 일반적인 도플러 효과 공식을 얻을 수 있습니다. 여기서 관측자와 파동 소스의 속도는 각각 파동 속도와 반대 방향일 경우 부호가 +로 변경됩니다.
도플러 효과의 사례와 적용
빛의 도플러 효과
천문학에서 많이 관찰되는 적색 편이(Red Shift)와 청색 편이(Blue Shift)도 빛의 도플러 효과로 인해 발생됩니다.
별이 지구로 다가오면 파장이 상대적으로 짧은 청색 빛으로 이동하고 멀어지면 상대적으로 파장이 긴 적색 빛으로 이동합니다.
이에 따라 이미 인지하고 있는 별이나 행성, 은하계의 스펙트럼 변화를 측정하여 그 이동을 분석할 수도 있습니다.
초음파의 도플러 초음파
산업용으로 널리 쓰이는 초음파는 도플러 효과를 활용하여 혈류의 속도를 측정하고 혈관의 상태를 분석하는 의료 분야에도 널리 사용됩니다.
속도 측정
레이저, 마이크로웨이브 등 다양한 파동을 움직이는 물체에 발사하고 반사되어 되돌아오는 파동의 진동수 변화를 분석하면 물체의 이동속도를 측정할 수 있습니다.
이는 차량의 속도위반을 측정하는 스피드 건이나 교통 카메라, 선박이나 항공기의 이동속도, 군사/기상용 레이다까지 매우 폭넓게 사용됩니다.
