많은 학자들이 가장 위대하고 아름답기까지 하다고 칭송하는 오일러 공식! 이 번 글에서는 오일러 공식이 우리의 과학 분야에서 차지하는 의미와 유도 방법에 대해 자세히 알아보도록 하겠습니다.
오일러 공식 (Euler's Formula)
오일러 공식은 스위스 바젤에서 태어난 수학자이자 물리학자, 천문학자로 여러 분야에서 수많은 업적을 남긴 레온하르트 오일러가 발견하여 그의 이름이 붙은 공식입니다.
오일러가 가우스, 탈레스, 아르키메데스 등과 함께 인류 역사상 가장 위대한 수학자로 칭송받게 한 대표적인 업적 중에 하나가 바로 이 오일러 공식이기도 합니다.
오일러 공식은 전혀 관련이 없을 것 같은 복소수의 지수함수와 삼각함수의 관계를 나타내는 매우 독특한 공식으로 오일러 항등식은 이 공식의 특수한 경우( x = π )를 말합니다.
- ei·x = cos x + i·sin x
- x = π 이면, ei·π = cos π + i·sin π = -1
ei·π + 1 = 0
오일러 공식의 의미
어떤 방정식이 가장 위대한가?라는 질문에 대해 수많은 학자들과 사람들이 맥스웰 방정식과 함께 오일러 방정식이라고 대답하였습니다.
그 이유는 복잡하고 오묘하게 느껴지는 독특한 상수들이 포함되는 공식이지만 푸우리에(Fourier) 변환 등의 이론 수학뿐만 아니라 파동방정식을 통해 광학, 양자역학 등 실용적인 과학 분야에도 광범위하게 활용되기 때문입니다.
예를 들면 파동함수는
- Ψ = A · ei(k·x - ω·t)
와 같은 형식으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 A는 진폭, k는 전파상수(Propagation Constant), x는 x좌표, ω는 각진동수(Angular Frequency)이며 t는 시간입니다.
오일러 공식에 포함되는 상수들을 살펴보면, 먼저 자연 상수 e는 오일러 상수라고도 하는데 자연에서의 연속적인 성장을 표현하기 위해 고안된 수로 2.7182818284...
와 같이 소수점 아래 숫자가 무한하여 분수로 나타낼 수 없는 무리수입니다.
상상의 수라고 불리는 허수 i는 √-1 로 정의되며 제곱하면 -1이 되는, 복소수에 사용되는 독특한 상수입니다.
그다음은 원주율 π입니다. π는 3.1415926535... 와 같이 소수점 아래 숫자가 끝도 없이 나타나는 역시 무리수입니다.
특히 오일러 항등식은 이러한 e, i, π와 함께 수학의 기본 연산인 덧셈, 곱셈, 지수 함수 그리고 기본 숫자 0과 1이 모두 포함된다는 사실 때문에 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불리기도 합니다.
오일러 공식의 유도
오일러 공식을 증명하거나 유도하는 방법은 여러 가지가 있으나 이 번 글에서는 가장 이해하기 쉬운 두 가지 방법만 공유하도록 하겠습니다.
미적분 방법
삼각함수로 구성된 복소수 z(x) = cos x + i·sin x 를 x로 미분하면
dz / dx = -sin x + i·cos x = i·(i·sin x + cos x) = i·z
가 됩니다. 이항한 후 양변을 적분하면
∫ dz / z = ∫ i dx
ln z = i·x = ln (cos x + i·sin x)
가 되는데 여기서 생성되는 적분 상수는 x = 0 일 때 등식이 성립하기 위한 조건에 의해 0이 됩니다. 양변에 지수 함수를 취하면 오일러 공식을 간단히 얻을 수 있습니다.
- ei·x = cos x + i·sin x
테일러 급수 방법
n이 0에서 무한대 일 때의 테일러 급수로 지수함수와 삼각함수를 표시할 수 있습니다.
ex = ∑ xn / n!
cos x = ∑ (-1)n·x2n / (2n)!
sin x = ∑ (-1)n·x2n+1 / (2n+1)!
지수에 i·x를 대입하여 풀어보면
ei·x = 1 + i·x + (i·x)2 / 2! + (i·x)3 / 3! + (i·x)4 / 4! + (i·x)5 / 5! + (i·x)6 / 6! + (i·x)7 / 7! + (i·x)8 / 8! + (i·x)9 / 9! + ...
와 같은데 이를 실수 부와 허수 부로 모아서 정리하면
ei·x = ( 1 - x2 / 2! + x4 / 4! - x6 / 6! + x8 / 8! - ... ) + i·( x - x3 / 3! + x5 / 5! - x7 / 7! + x9 / 9! - ... )
= cos x + i·sin x
로 역시 오일러 공식을 얻을 수 있습니다.
