지구 중심을 통과하는 터널 문제 쉽게 풀기: 재미있는 과학

지구의 중심을 통과하는 엄청난 길이의 터널을 만들 수 있다면 그리고 그곳에 물체를 떨어뜨린다면 어떤 현상이 일어날까요? 재미있는 과학 이야기! 이번 글에서는 지구 터널 문제를 물리학 관점에서 자세히 알아보도록 하겠습니다.

지구 터널 문제의 가정

지구는 퇴적층, 산림, 바다 등 다양한 물질로 구성되어 밀도가 일정하지 않지만 문제의 복잡성을 제거하기 위해 이번 문제에서는 일정하다고 가정합니다.
지구의 모양은 정확한 구형이 아니지만 완벽한 구형이라고 가정합니다. (지표면은 실제로 편평하지 않으며 자전에 의해 적도 부근의 직경이 더 큽니다.)
물체의 운동 방향에 반대로 발생하는 공기 저항력은 이번 문제에서 무시합니다.

지구의 중심을 통과하는 긴 터널에 물체를 떨어뜨렸을 때의 운동 방정식을 구하기 위해서는 먼저 중력을 살펴보아야 합니다. 지구 표면에서는 중력상수 G는 상수이므로 일정하고 지구의 반지름 R과 전체 질량 M이 일정하므로 중력은

F = mg --- (1)

로 표시되며 여기 m은 물체의 질량 g는 중력가속도입니다. 하지만 지구의 중심을 통과하는 터널을 만들고 여기에 물체를 떨어뜨렸을 경우에는 물체의 임의의 위치 r에 따라 지구의 질량과 반지름이 변하므로

F = G·Mm/r² --- (2)

과 같이 일반적인 중력 방정식을 사용해야 합니다. 완벽한 구의 형태를 가진 지구의 밀도가 ρ라면 터널 안의 특정 위치 r에서 지구의 질량 M은 부피에 밀도를 곱하면 구할 수 있으므로

M =4/3·πr³ρ

이 되고 이를 2식에 대입한 후에 1식과 비교하면 터널 안 특정 위치 r에서의 중력 가속도 g_r을 구할 수 있습니다.

g_r = 4/3·πGρr

이제 뉴턴의 제2법칙에 따라 운동방정식을 구하면

F = d²r/dt² = ma = mg_r = -m4/3·πGρr (- 부호는 반지름과 중력 방향이 반대이므로 적용)

가 되고 결국

d²r/dt² + 4/3·πGρr = 0

와 같이 됩니다.

우리 눈에 친근한 이 운동 방정식은 단진자 운동(Simple Harmonic Motion)의 운동 방정식

d²x/dt² + ω²x = 0 (여기 ω는 각진동수)

와 동일한 형태이므로 지구 중심을 통과하는 터널에 떨어뜨린 물체도 결국 한쪽 지표면에서 반대쪽 지표면까지 왕복하는 단진자 운동을 하는 것입니다.

두 식을 비교하여 이 단진자 운동의 각진동수는

ω² = 4/3·πGρ

로부터

ω = (4/3·πGρ)^1/2

을 구할 수 있고 결국 간단하게 지구 터널을 왕복하는 물체의 단진자 운동의 주기 T를 구할 수 있습니다.

T = 2π/ω = 2π[ 3/(4πGρ) ]^1/2 = [ 3π/(Gρ) ]^1/2

여기에 지구의 평균 밀도 ρ = 5515 ( 단위: kg · m^-3) 중력상수 G = 6.67430x10^-11 ( 단위: m³· kg^-1·sec^-2 )를 대입하면 대략 약 84분의 왕복 주기를 구할 수 있습니다.

즉 한쪽 끝에서 출발한 물체는 지구 중심을 통과한 후 약 42분 만에 반대쪽 끝에 도달하고 다시 되돌아오는데 다시 42 분이 걸리는 것입니다.

앞에서 무시했던 공기 저항을 반영하게 되면 운동 방정식은 더욱 복잡해 지므로 여기서는 생략하지만 진폭이 점점 감소하는 감쇠진동(damped oscillation)이 되어 결국 물체는 지구의 중심에 멈춘다는 것을 예상할 수 있습니다.